教学研讨｜10.1.1有限样本空间与随机事件（2019版新教材）

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研讨素材一



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GH一、教材分析
教材截图（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）教材分析：
     1.内容     (1)样本点、有限样本空间的定义.     (2)随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件与样本点、样本空间的关系.     2.内容解析     本节课是在初中概率学习的基础上，进一步用数学语言对有限样本空间、样本点、随机事件等概率理论的核心概念进行深入刻画，样本空间的概念是数学化随机现象过程中的基础部分，它的重要性在于可以描述随机试验的结果，而且是测量随机事件的基础，随机试验以多个结果为特征，每个可能的基本结果称为样本点，有限样本空间是指只有有限个可能的结果所成的集合.用集合语言描述样本空间与样本点概念，就可以利用样本点的特征与分类将随机事件定义为样本空间的子集，并在此基础上定义基本事件与事件的发生.将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.      引入样本空间概念，把随机事件看成样本空间的子集，不仅体现了重要概念的螺旋上升，而且进一步揭示了随机事件的本质.通过集合语言，可以类比集合的关系与运算，更好地理解事件的关系和运算的意义，引入样本空间概念还有利于对实际问题进行数学抽象，建立概率模型，以及在后续概率课程的学习中，理解随机变量的本质是样本空间到实数集的映射.       本节课的学习，一方面让学生通过不同的实例抽象出有限样本空间概念，以及利用样本空间描述一个随机试验的结果，利用集合语言与样本点描述一个随机事件，发展学生的概率思维、数学抽象、数学语言表达与交流的能力.另一方面，还可以让学生认清有限样本空间概念与随机事件等概念的纵向联系，体会这种定义方式对于理解随机性的意义.       综上所述，可以确定本节课的教学重点：理解样本空间概念，会用集合语言表示一个随机试验的样本空间与随机事件.二、目标和目标解析     1.目标     (1)结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义     (2)理解随机事件与样本点的关系.     2.目标解析     达成上述目标的标志是：     (1)结合具体实例，经历用集合语言描述一个随机试验的所有可能结果，并抽象出有限样本空间与样本点概念的过程，会求试验结果有限的随机试验的样本空间，体会数学抽象的思想方法.    (2)会用集合语言表示一个随机事件，能利用样本点概念解释事件可能结果的意义以及所包含基本事件的个数，提高应用数学语言表达与交流的能力.     三、教学问题诊断分析     学生在初中已经对随机现象有初步了解，通过抛挪硬币、锻子等试验，认识到在一定条件下重复进行试验时，有些事件是必然发生的，有些事件是不可能发生的，有些事件是可能发生也可能不发生的，能在具体情境下辨别必然事件、不可能事件与随机事件，进入高中概率课程的学习，要在此基础上利用数学语言对随机现象进行深入刻画理解有限样本空间的概念，需要首先明确一个随机试验有多少可能的结果，再选择适当的集合语言予以表示.这是概率建模中进行数学化的关键一步，许多学生在面对一个随机试验时还不具备这样的思维方式，缺乏建构样本空间的程序与技巧，而且容易忽视不同结果的顺序因素。教学中，教师可以举不同情境的实例，并通过强调一个随机试验的观察点，引导学生思考——有多少可能的结果，怎样表示.并通过画树状图或表格，帮助学生正确写出样本空间.       从集合的关系看，一个随机事件是它的样本空间的子集，理解一个随机事件需要能够在自然语言与集合语言之间进行相互转换，这也是学习的难点，因此，教师不仅要在理解随机试验内涵的基础上，引导学生探索随机试验的样本空间，并在此基础上根据随机事件的意义选择适当的样本点构成事件的集合，而且要关注学生如何根据样本点解释随机事件的意义以及可能发生的结果.        综上，本节课的难点是用适当的集合语言表示一个随机试验的样本空间，以及表示一个随机事件的自然语言与集合语言之间的相互转换.     四、教学问题分析
       教科书结合典型的随机现象介绍随机试验的特点，归纳样本点、有限样本空间、随机事件的概念.通过分析随机试验的可能结果，用适当的字母、数字或数对表示结果，构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，也是提升学生数学抽象素养的重要途径.其作用体现在：有利于较为深刻地理解随机事件的概念；通过与集合关系和运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义；可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程；也有利于在选择性必修课程的概率内容中揭示随机变量的本质（样本空间到实数集的映射）   1.关于“样本空间”的理解样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合.在确定随机试验的样本空间时，要注意不要把问题背景与问题本身混为一谈.例如，抛挪一对骨子，要求“点数之和是偶数”的概率，有人认为建立样本空间Ω₁={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6}比较复杂，也可以建立简化的样本空间Ω₂={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},将Ω₂中的每个元素看成是试验的基本结果，这个结果也是等可能的，从而求得“点数之和是偶数”的概率为0.5。但是，我们如果在同样的问题背景下，同时求“点数之和为5”的概率，显然利用样本空间Ω₂就不行了，还是要用Ω₁。这样，对于同样的问题背景，针对不同的问题，需要构建不同的样本空间，使得原本清晰的问题变得复杂了.因此，选择样本点、建立样本空间的基本原则是：样本点和样本空间与问题背景有关，与问题本身无关.2.关于“基本事件”的理解样本空间的单点集称为基本事件.所以，一旦试验的样本空间确定，基本事件就明确了.需要注意的是，样本点和基本事件在逻辑上是有区别的，样本点ω∈Ω,而基本事件{ω}⊆Ω，有时说样本点就是基本事件，在语言表述上不必过于计较.3.关于“随机事件”的理解在初中，采用描述性方式定义随机事件，将随机事件、必然事件、不可能事件看成是并列的关系.在高中，将随机事件定义为样本空间的子集，而将必然事件和不可能事件作为随机事件的极端情形.4.建立有限样本空间对随机试验，用适当的符号表示试验的基本结果、列举样本空间，既是重点也是难点.不同的随机试验，样本空间的复杂性有很大的差别.在教学中，要控制随机试验的复杂性，从最简单的试验开始（例1抛挪一枚硬币，例2抛挪一枚骨子，例3抛挪两枚硬币）,经历用语言描述试验的基本结果，并用符号表示，进而思考更简洁的表示.教学中尽可能多列举一些具有相同结构样本空间的随机试验.5.例题的设计意图及教学建议例3要求列举“抛挪两枚硬币”的试验的样本空间，有人认为这个试验有3个可能结果：两个正面、两个反面、一个正面一个反面.这种观点没错，但是这三个结果不是等可能发生的.如果区分两枚硬币，抛挪第一枚硬币有2种可能结果，抛挪第二枚硬币也有2种可能结果，利用树状图，建立样本空间Ω={（正，正）,(正，反）,(反，正）,(反，反）},这4个结果是等可能发生的.如果用h表示正面朝上，用t表示反面朝上，样本空间表示为Ω=(hh,ht,th,tt).如果用x和y分别表示挪第一枚和第二枚硬币可能的基本结果，那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是，如果用0表示“反面朝上”，用1表示“正面朝上”，则样本空间可以简单表示为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},或者表示为Ω={00,01,10,11}。需要强调的是，以上几种样本空间的表示，其抽象程度是不一样的，教学中要引导学生尽量使用数字方式.在后续的学习中可以看到，对于只有两个可能结果的试验，用0和1表示试验结果是有很多好处的.还可以考察随机试验：两个元件构成的并联（或串联）电路的状态；任选一个有两小孩的家庭，考虑两个小孩性别的可能情况；向某一目标射击两次，命中目标的可能结果；两个同学独立猜谜语的可能结果；等等，从样本空间的结构、样本点的等可能性，与抛挪两枚硬币的试验进行比较.例4考虑3个元件构成的电路，仿照抛挪3枚硬币的试验，考虑3个元件的所有可能状态，建立样本空间，在具体问题情境中，理解随机事件的意义，初步掌握用样本空间的子集表示事件的方法.经历上述学习与思考，为建立较复杂的随机试验的样本空间奠定基础，例如，建立“抛挪两颗般子”“不放回摸球两次”“任意调查两个人的出生月份”“将一个简单的试验E重复n次”等试验的样本空间.     五、教学重点、难点     重点：理解样本空间概念，会用集合语言表示一个随机试验的样本空间与随机事件.      难点:  用适当的集合语言表示一个随机试验的样本空间，以及表示一个随机事件的自然语言与集合语言之间的相互转换.     六、数学学科素养      在教学中应重视数学思想的提炼和渗透，把提升学生的数学学科核心素养落到实处。      数学抽象：对随机试验，用符号（字母、数字或数对）表示试验的可能结果，抽象出样本点、样本空间，由事件发生的意义抽象出“随机事件”是样本空间的子集；建立概率模型；从两个事件的发生互相不影响，抽象事件的独立性等，都是数学抽象的体现.     逻辑推理：本章中运用了类比、归纳等思想.例如，类比函数的研究，确定概率的研究路径，发现概率的性质；类比集合的关系和运算理解事件关系与运算的含义；对概率基本性质的研究采用由特殊到一般的归纳的方式；等.      数学建模：对古典概型的教学，重点应放在通过解决实际问题，了解构建概率模型的一般方法，理解事件概率的意义，渗透模型化思想，不要把重点放在计数上.     七、教学设计：引言：我们知道，像抽签、抛挪骨子等试验，在一定条件下重复进行试验时，有些事件有可能发生也有可能不发生，这就是随机事件，如何进一步刻画随机事件呢？今天我们就来一起探索.(一）有限样本空间的概念研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的结果.问题1:考察下列试验：(1)将一枚硬币抛挪2次，观察正面、反面朝上的情况；(2)从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数.观察这些随机现象，分别说一说（1)和（2)有哪些可能的结果？师生活动：提出问题后，让学生独立思考后回答问题.对于问题（2),如果学生感到困难，可以采取计算机模拟的方法，边试验边讨论，在此基础上，教师点出随机试验的概念。设计意图：通过问题1,激活学生已有的经验，并促使学生明确本节关注的基本问题.问题2:考察下列随机试验：在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机抽取一些，观察分冀数；记录某地区7月的降水量；等等，你能归纳它们的共同特点吗？师生活动：师生共同归纳它们的共同特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.教师指出：我们通常把随机试验简称为试验，常用字母E表示.追问：你还能举出一些随机试验的例子吗？师生活动：学生独立思考后尝试举例。教师根据随机试验的三个特点分析学生的回答，引导学生把握随机试验的实质，一些学生所举的例子可能表现为“从整体中取出一些个体的试验”如问题1(2),或者“每个结果出现的可能性相同的试验”，前者可能受了随机抽样的影响，后者把古典概型的特殊试验看成是一般的随机试验，教师对此应有预案准备。设计意图：通过问题2归纳出随机试验的特点；通过追问，帮助学生巩固对随机试验特点的认识.问题3:体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.(1)这个随机试验共有多少个可能结果？(2)如何用集合语言表示所有可能的结果？师生活动：学生一般能说出10个可能结果，教师强调“所有可能的结果”的意义，然后把思考引向如何用集合语言描述所有可能的结果，使学生对问题的意义与思考方向更加明确.最后，师生简要探讨用何种符号表示更明确简洁.设计意图：通过问题3,促使学生思考本节的核心问题：如何用集合语言表示一个随机试验的所有可能的结果？追问（1):类比上面的例子，请你根据前面的各个随机试验实例，讨论如何用集合语言表示这些随机试验中所有可能的结果，并说一说你是如何思考和解决问题的.师生活动：教师可以组织小组学习，对于前面问题1,2中的实例，以及教师、学生举出的一些其他随机试验的实例，尝试用集合语言描述一个随机试验的所有可能的结果.教师应关注学生如何解释他们对结果的表示的思考过程.此时不必强调书写的规范性.教师小结：数学上，我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用2表示样本空间，用w表示样本点。当前，我们只讨论2为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω₁, ω₂,…，ω_n,,则称样本空间Ω={ω₁, ω₂,…，ω_n}为有限样本空间追问（2):你能借助符号语言，把刚才用集合语言表示的结果再进行修改完善吗？师生活动：学生刚开始学习用集合语言表示样本空间，一般要经历两个步骤：(1)对可能结果先用文字语言描述，并用集合形式表示；(2)通过协商，对文字语言描述的结果用更简洁的符号表示，这里的符号可能是字母或者数字，教师应引导学生使一个随机试验结果的表示体现数学语言的特点.设计意图：两个追问旨在引导学生关注把一个随机试验的结果进行数学化的思考路径与关键步骤.例1抛挪一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，你能写出这个试验的样本空间吗？例2抛挪一枚殷子，观察它落地时朝上面的点数，你能写出这个试验的样本空间吗？例3抛挪两枚硬币，观察它们落地时朝上面的情况，你能写出这个试验的样本空间吗？师生活动：对于例1、例2,教师鼓励学生独立思考解决问题，师生共同完善问题的解答与符号表示的规范性，对于例3,教师要引导学生思考其与例2的异同，观察学生如何得出以及描述试验的所有可能结果，适当规范学生的表示方法，并根据学生的反馈，指导学生画树状图帮助计算设计意图：例题的意图是让学生熟悉用集合语言、样本点、样本空间概念描述试验的结果并初步形成样本空间概念的可操作的程序性知识，以及用数学方法研究随机试验的思维方式。(二）随机事件的概念问题4:在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是随机事件吗？如何用集合的语言来表示它们？师生活动：首先引导学生分别用集合语言描述两个随机事件，并从一个随机事件所包含的可能结果的角度，引导学生用自然语言解释随机事件的意义，体会两种语言的不同特点。设计意图：本问题的核心是如何用集合语言表示一个随机事件，促进学生应用样本点概念重新建构随机事件概念.追问：这两个随机事件的集合与这个随机试验的样本空间是什么关系？如何利用集合语言解释一个随机事件发生的意义？师生活动：让学生根据体育彩票摇号试验的具体例子，尝试用集合语言解释“一个随机事件发生”的意义.教师小结：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间2的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.设计意图：促进学生建构随机事件与样本点、样本空间概念的联系.问题5:根据随机事件与样本点的关系，你能说说必然事件与不可能事件如何用集合语言表示吗？师生活动：在学生独立思考的基础上，关注学生回答问题时如何解释、推理、表示.教师小结：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件，而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件，必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，有限样本空间Ω的每个子集都是事件.设计意图：利用类比的思想，促进学生建构必然事件、不可能事件与样本点、样本空间的关系，例4如图1,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常：(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.师生活动：教师重点引导学生对随机试验“这个电路中各元件是否正常”进行数学化，引导学生思考：这个随机试验的观察点是什么，有多少个可能的结果，怎样表示，对于用集合表示事件，应让学生能够进行自然语言与集合语言之间的相互解释.设计意图：“电路”情境属于科学情境，让学生在一种新的情境下巩固样本空间概念，进一步发展用集合语言描述随机试验、随机事件的程序性的、策略性的知识。(三）课堂小结教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并回答下列问题：通过今天的学习，说一说你能解决什么问题了？你了解了哪些数学概念？它们之间有什么联系？师生活动：学生独立思考，合作交流后回答问题.教师应关注学生的解释，对于一些错误的方面，应先让其他的学生来评价，并最终通过举例、辨析或者追问帮助学生澄清教师小结：在本节课中，我们认识了样本空间的概念，进而利用集合语言、样本空间描述一个随机试验的所有可能的基本结果，描述一个随机事件所包含的基本结果，并把随机事件看作样本空间的子集.这样我们就可以用数学语言与方法研究随机现象.设计意图：通过层层深入的问题设计，引导学生从反思所解决的问题的特点到反思问题解决涉及的数学知识方法，进一步地，反思相关知识之间的联系.(四）布置作业教科书第229页练习第1,2题.(五)、目标检测设计1.袋子中有3个红色弹珠与2个黑色弹珠，除颜色外，质地与大小均相同。从中随机摸出一个球，(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示事件A=“摸出一个红色弹珠”.设计意图：考查学生对样本空间与随机事件的理解2.同时抛挪两枚均匀的骰子，观察朝上一面的点数.(1)用集合表示事件A=“点数和为7”，B=“点数和为10”，事件A与B分别包含多少个样本点？(2)用集合表示事件“和是一个偶数”.设计意图：考查学生对样本空间与随机事件的理解.【以上大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》及普通高中教科 （人教版）《教师培训手册》·数学A版，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】

     八、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

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研讨素材三

3.1.1  随机事件的概率

3.1.2  概率的意义

3.1.3  概率的基本性质

3.2.1  古典概型

3.2  古典概型（2课时） 自主学习步步提升

END

全

文

完

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